Exponentialansatz

Unter dem Exponentialansatz versteht man in der Mathematik einen Ansatz zur Lösung einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, deren Inhomogenität von exponentieller Struktur ist. Die Idee ist, dass dann auch eine partikuläre Lösung von ähnlicher Gestalt wie die Inhomogenität existiert. Durch einen solchen Lösungsansatz wird die Differentialgleichung auf ein lineares Gleichungssystem zurückgeführt. Die Idee für diesen Ansatz geht auf Leonhard Euler zurück.
Gegeben sei eine lineare Differentialgleichung
mit konstanten Koeffizienten , worin die Inhomogenität die Struktur
besitzt. Weiter bezeichne die Nullstellenordnung von bezüglich des charakteristischen Polynoms der zugehörigen homogenen Gleichung
Dann existiert eine spezielle Lösung der Form
Man betrachte die lineare Differentialgleichung
Nun ist Nullstelle erster Ordnung des Polynoms . Also existiert nach obigem Satz eine spezielle Lösung der Gestalt
Aus
und
erhält man von der Differentialgleichung
Koeffizientenvergleich liefert die bestimmenden Gleichungen
welches und impliziert. Also ist
eine spezielle Lösung obiger inhomogener Differentialgleichung.